本文原载于微信公众号"小朱的读书笔记"，链接为:[从傅里叶级数角度看数学分析](https://mp.weixin.qq.com/s/PaaRVJG2bCmEkTh56K2K6g "从傅里叶级数角度看数学分析") 作者:`陈跃`，上海师范大学数学系副教授。 ------------ 在数学分析（或高等微积分）的整个课程体系中，由正弦函数和余弦函数组成的傅里叶级数是一个十分奇特的存在。数学分析课的内容一般由极限论、一元微积分、级数论和多元微积分这四大部分所组成，而其中的级数论又分成了数项级数、函数项级数、幂级数和傅里叶级数这四章。傅里叶级数的理论之所以放在级数论的最后，主要原因是因为有关它的收敛定理的证明比较复杂难讲。 本来，由函数的泰勒展开式定理知道，每一个有直到$n$阶连续导数的函数都可以写成前$n$个幂函数的线性组合，其中的各个系数由该函数的各阶导数来确定。这个定理被用在了一些近似计算和相关理论的分析中，使得各种复杂函数的问题都可以转化为最简单的多项式函数的问题来解决，并且从函数的泰勒展开式出发，学生们还可以进一步理解级数论中的幂级数理论。 但是在级数论中的最后一章才出现的像下面这样的三角级数 $$\frac{a_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {({a_n}} \cos nx + {b_n}\sin nx)$$ 对于学生们来说是十分陌生的，不仅如此，还要求他们把任意一个周期函数$f(x)$都写成这样的三角级数展开式（此时这样的展开式被称为$f(x)$的傅里叶级数）。虽然从有关资料上可以看到，傅里叶级数在科学技术中的应用极为广泛，几乎在所有的物理学分支中都要用到傅里叶级数，这是因为在声学、光学、热力学和电气工程中，为了要研究周期性的运动，就必须使用傅里叶级数，但是，为什么这种展开式比泰勒展开式要更好？傅里叶级数又是怎么来的？以及它在理论上的重要性是什么？这些问题都需要跟学生们解释清楚。 实际上，从微积分和数学分析的发展历史可以知道，包括幂级数和傅里叶级数在内的函数项级数的一个主要用途，就是用来求解各种各样的微分方程。人们发现，许多微分方程的解根本不可能用初等函数来表示，它们只能用幂级数或傅里叶级数来表示，因此函数项级数对于产生更多的新函数起着非常关键的作用。 不仅如此，人们从各种级数的展开理论研究中也自然地提出了级数的收敛性问题，其中特别是关于傅里叶级数的收敛问题，显得尤为复杂和突出。围绕着傅里叶级数的困惑与研究，在很大程度上促使产生了集合论的基本概念、函数的严格定义、极限与导数的严格定义、黎曼积分的定义、函数项级数的收敛与一致收敛定义、测度的概念、广义函数的概念等一系列最基本的分析学概念。因此，从傅里叶级数的角度来重新审视这些基本概念的产生过程，可以使我们更深入地理解数学分析这门课程的相关内容。 本文将着重介绍傅里叶级数对函数项级数的收敛与一致收敛概念的形成，所起到的关键作用。 一.傅里叶级数的由来 - 在1798年的夏天，30岁的法国数学教师傅里叶接到了参加拿破仑赴埃及远征军的命令。在埃及的时候，由于身患风湿病，傅里叶总是穿着厚重的衣服，待在“过热”的房间里，由此引发了他对热学的研究兴趣，并且在其后半生里坚持不渝地从事与热学有关的数学研究。 傅里叶在1801年回到法国后，就开始进行关于热传导问题的数学研究。傅里叶先是求出了热传导偏微分方程 $$u_{t}=ku_{xx}$$ 的解的公式，这里的二元函数$u(x,t)$表示物体在位置坐标$x$和时间$t$的温度，$k$ 是一个常数。这个偏微分方程还有一个初始条件 $$u(x,0)=f(x),(0\leq x \leq l),\tag{1}$$ 下面为了方便起见，假定$l=\pi$。 傅里叶要对所有的$t>0$求出方程的解$u(x,t)$,此时他运用了经典的分离变量法，即设该偏微分方程的解为$u(x,t)=y(x)z(t)$ ，代入方程后，可以得到等式 $$\frac{z'(t)}{kz(t)}=\frac{y''(x)}{y(x)}=-\lambda,$$ 其中的$\lambda$是待定系数。然后由常微分方程$y''(x)+\lambda y(x)=0$及边界条件，可以得到该常微分方程的一系列解 $$y_{n}(x)=\sin nx,(n=1,2,\cdots),$$ 以及相应的$\lambda=n^{2}(n=1,2,\cdots)$。再将这些$\lambda$代入上述的另一个常微分方程$z'(t)+\lambda kz(t)=0$，继续解出其一系列解 $$z_{n}(t)=e^{-n^{2}kt},(n=1,2,\cdots).$$ 这样，将$y_{n}(x)$ 与$z_{n}(t)$ 相乘后，就得到了该方程的无穷多个解： $$u_{n}(x,t)=e^{-n^{2}kt} \sin nx,(n=1,2,\cdots).$$ 由于该偏微分方程是一个线性方程，所以各个解的线性组合还是该方程的解，于是就能够把热传导偏微分方程的解写成以下函数项级数的形式（其中的$c_{n}$是常数）： $$u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}c_{n}e^{-n^{2}kt} \sin nx.\tag{2}$$ 傅里叶在上式中代入初始条件（1）后，就得到了一个十分重要的等式 $$f(x)=u(x,0)=\sum_{n=1}^{\infty} c_{n}\sin nx,\tag{3}$$ 此时他就遇到了“一个任意函数$f(x)$能否表示成三角级数的和”的基本问题，特别是无穷多个系数$c_{n}$怎样来确定的问题。在经过了一番探索后，傅里叶发现了系数公式 $$c_{n}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\sin nxdx,(n=1,2,\cdots).\tag{4}$$ 这样就完全确定了（2）式中的热传导偏微分方程的解，并且他还比较彻底地研究了相关的三角级数（即傅里叶级数）的收敛问题，最终肯定地回答说：任意函数确实可以表示成三角级数的和。 在这里，我们可以用一种简单的方法，来导出傅里叶的系数公式（4）。首先将上述的（3）式写成 $$f(x)=\sum_{m=1}^{\infty} c_{m}\sin mx,$$ 两边乘$\sin nx$ 后，假定上式右边的函数项级数可以逐项积分，则两边从0积到$\pi$后，可得 $$\int_{0}^{\pi}f(x)\sin nxdx=\sum_{m=1}^{\infty} c_{m}\int_{0}^{\pi}\sin mx\sin nxdx=\frac{1}{2}\pi c_{n},$$ 由此就可以得到系数公式（4）。 1807年，傅里叶在向法国科学院呈交的一篇关于热传导问题的论文中，宣布了任何一个函数都能够展开成三角函数的无穷级数。在审查这篇论文的过程中，法国数学家拉格朗日、拉普拉斯和勒让德等人认为，该论文的观点与拉格朗日关于三角级数的观点相矛盾（例如三角函数是周期函数，而任意函数不一定是周期函数等），因此拒绝了这篇论文的发表。  （图1：法国数学家傅里叶、拉普拉斯和拉格朗日） 对此傅里叶“表示抗议但无效”。他继续进行自己的研究，并且在这个过程中，傅里叶初步形成了关于级数收敛的正确概念，开创了在现代数学与科学技术中十分重要的傅里叶级数展开式 $$f(x)=\frac{a_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {({a_n}} \cos nx + {b_n}\sin nx)$$ 与傅里叶积分的理论。1811年，傅里叶又呈交了修改过的论文，获得1812年法国科学院颁发的关于热传导问题的奖金，但是这篇论文因为在论证方面仍然缺乏严密性而未能正式发表。1817年傅里叶被选为法国科学院院士，并且于1822年成为科学院的终身秘书，此时他就能直接发表汇集了他的关于热学研究的大部分论文的伟大著作《Thèorie analytique de la chaleur》（热的解析理论）。 《热的解析理论》这本著作被认为是“19世纪数学物理上最大胆创新和最有影响的一部。”书中处理了各种边界条件下的热传导问题，列举了大量函数并运用图形来说明“任意”函数都可以展开成三角级数。虽然傅里叶在书中并没有给出“任意”函数的明确条件和完整的级数收敛性证明，但是他却开辟了“傅里叶分析”（或者“调和分析”）这整个一大片新的数学研究领域。接下来，后世的数学家们逐渐完善了有关傅里叶级数收敛性的各个证明细节。这件事情告诉我们，在数学中，往往是先发现事实，然后再逐步地给出严密论证的过程，所以初学者不必为一开始看不懂严格的证明而发愁，应该先弄清楚所要证明的数学事实究竟是什么。 二、函数项级数的收敛 - 在现在的数学分析课本中，对函数$f(x)$的傅里叶级数是这样定义的：如果$f(x)$是以 $2\pi$为周期的可积的周期函数，并且按照下面两组公式计算出一系列的“傅里叶系数” $a_{n}$和$b_{n}$： $$a_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nxdx,(n=0,1,2,\cdots)\tag{5}$$ $$b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nxdx,(n=1,2,\cdots)\tag{6}$$ 那么用这些系数构成的三角级数 $$\frac{a_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {({a_n}} \cos nx + {b_n}\sin nx)\tag{7}$$ 就称为$f(x)$的傅里叶级数，并记为 $$f(x)\sim \frac{a_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {({a_n}} \cos nx + {b_n}\sin nx)$$ 注意上式之所以没有写等号，是因为$f(x)$的傅里叶级数（即上式右边的级数）不一定正好就收敛于$f(x)$。从下面的傅里叶级数的收敛定理可以知道，只有当$f(x)$是连续函数时，这里的“～”在相应的连续点处才可以换成等号。 例如，对于书上“把$(\pi,\pi]$上的函数$f(x)=x$ 展开成傅里叶级数”这样的题目，我们首先要将这个函数理解成：它是定义在整个数轴上的以$2\pi$为周期的函数，即在 以外的部分都是按照函数在$(\pi,\pi]$上的对应关系来作周期延拓的。因此这个函数 的图形具有类似“锯齿”的形状  （图2：$(\pi,\pi]$上的“锯齿形”周期函数$f(x)=x$） 这样，由系数公式（5）和（6），对$n=0,1,2,\cdots$来说，因为函数$x\cos nx$ 是$(\pi,\pi]$上的奇函数，所以有 $$a_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x\cos nxdx=0,$$ 而对$n=1,2,\cdots$来说，由于函数$x\sin nx$ 是偶函数， $$b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x\sin nxdx=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x\sin nxdx=\frac{2}{n}(-1)^{n+1},$$ 于是得到“锯齿形”周期函数$f(x)=x$的傅里叶级数为 $$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{2}{n}\sin nx=2(\sin x-\frac{1}{2}\sin 2x+\frac{1}{3}\sin 3x-\cdots )\tag{8}$$ 因为“锯齿形”周期函数$f(x)=x$在除了$x=(2k+1)\pi$（$k$是整数）以外的点都连续，所以由下面要讲的“傅里叶级数收敛定理”的结论知道，这个傅里叶级数在除了$x=(2k+1)\pi$以外的所有点处都收敛于$f(x)$，例如在开区间$(\pi,\pi)$上，必定成立等式 $$x=2(\sin x-\frac{1}{2}\sin 2x+\frac{1}{3}\sin 3x-\cdots ).$$ 如果将$x=\frac{\pi}{2}$ 代入上式，就立即得到可用来计算$\pi$的等式 $$\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\cdots,$$ 只是这个级数收敛得太慢了，一般情况下人们不会用它来计算$\pi$的近似值。 我们可以实际来观察（8）式中傅里叶级数的前$N$项的部分和 $$\sum_{n=1}^{N}(-1)^{n+1}\frac{2}{n}\sin nx\tag{9}$$ 它在$N$逐渐增大时是怎样趋向于“锯齿形”周期函数$f(x)=x$的：  (图3：傅里叶级数前3个部分和的图像) 从这些图形可以看到，随着$N$的增加，逼近将会变得越来越好。当然，在所有的不连续点$x=(2k+1)\pi$处，由于（9）式中部分和函数的值都是0，因此逼近状况是不佳的。 傅里叶正是从自己计算的大量的三角级数展开的函数例子中，逐步形成了关于级数收敛的正确观念。他在书中给出的级数收敛的定义是： >当我们不断地增加项数时，它的值应越来越趋于一个固定的极限，它们之差仅是一个小于任意给定的量。这个极限就是级数的值。 傅里叶的这个定义其实是现代的数列极限$\epsilon-N $定义的先声。不过，虽然傅里叶坚信他的傅里叶级数在所有的连续点处一定是收敛的，但是他却无法给出关于这些傅里叶级数收敛性的完整证明。这实际上也是傅里叶的工作遭到拉格朗日等人冷遇的最主要原因。 另一方面，与傅里叶同时代的数学家们，对于级数的收敛性却没有这么清晰的概念。他们似乎缺乏分段函数的概念，总是以为所有的函数都应该有明确的解析表示式（由初等函数的四则运算与复合函数来产生），并且所有一元函数的定义域都应该是整个的数轴$(-\infty,+\infty)$ 。一些数学家对于把$f(x)=x$这样的函数写成如下三角级数的和 $$f(x)= \frac{a_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {({a_n}} \cos nx + {b_n}\sin nx)$$ 持严重的怀疑态度，他们说这个等式右边的三角函数都是周期函数，因此这些函数的无穷和函数也是周期函数，而左边定义在$(-\infty,+\infty)$上的函数$f(x)=x$显然不是周期函数。他们完全没有意识到：在有限的开区间$(-\pi,+\pi)$ 上，函数$f(x)=x$ 与周期函数是有可能相重合的！再加上他们不象傅里叶那样对于级数的收敛性有很明确的概念，自然就更难以接受像傅里叶级数这样的新生事物了。 事情的转机来自于一个外国小伙子。1822年，一位聪明的德国青年狄利克雷来到巴黎求学，他从傅里叶那里学习了有关傅里叶级数的理论，并了解到了该理论中最困难的收敛性问题还没有解决。狄利克雷4年后回到德国，先在一所大学里任教，几年后他就证明了傅里叶级数的收敛定理。这个收敛定理在今天的数学分析课本中是这样表述的： >（傅里叶级数收敛定理）若以$2\pi$为周期的函数$f(x)$在区间$(-\pi,\pi]$ 上分段光滑，则在每一点$x\in (-\pi,\pi]$，$f(x)$的傅里叶级数（7）收敛于$f(x)$在点$x$的左、右极限的平均值，即有 >$$\frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}=\frac{a_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {({a_n}} \cos nx + {b_n}\sin nx)\tag{10}$$ >其中的$a_{n}$和$b_{n}$是$f(x)$的傅里叶系数。 根据这个定理，在$f(x)$的所有连续点处，它的傅里叶级数一定收敛到$f(x)$，而在函数的跳跃点处，它的傅里叶级数收敛于函数左右极限值的平均值。从这里我们可以看到，傅里叶级数展开式对函数$f(x)$的要求，远比泰勒展开式对函数的要求低：前者只要求有分段的连续导函数，而后者则是要求函数有“直到$n$阶”的连续导函数。  （图4：德国数学家狄利克雷（Dirichlet，1805-1859）） 狄利克雷在证明该收敛定理时，所用的方法是仔细地估计（10）式的左边减去右边傅里叶级数部分和的差的绝对值，设法证明当$n$趋于无穷大时，这个差的绝对值必定趋于0。这个证明涉及了十分精细的三角恒等式推理与比较复杂的论证技巧，并且这种考察$f(x)$ 的傅里叶级数部分和与$f(x)$差的极限性质的方法，日后也成为了数学家们判断和证明函数项级数收敛性的经典方法。我们可以在由华东师范大学数学编写的《数学分析》下册中，充分地领略这种经典的证明方法：  （图5：华东师范大学数学编写的《数学分析》下册）  （图6：华东师范大学数学编写的《数学分析》对傅里叶级数收敛定理的证明） 对于前面讲过的那个“锯齿形”周期函数$f(x)=x$，应用傅里叶级数的收敛定理，容易得出该函数的傅里叶级数所收敛的函数是一个分段函数： $$2(\sin x - \frac{1}{2}\sin 2x + \frac{1}{3}\sin 3x - \cdot \cdot \cdot ) = \left\{ \begin{gathered} 0,x = - \pi \hfill \\ x,x \in ( - \pi ,\pi ) \hfill \\ 0,x = \pi \hfill \\ x - 2\pi ,x \in (\pi ,3\pi ) \hfill \\ \end{gathered} \right.\tag{11}$$ （其余区间上的函数值类推），它的图形是：  （图7：$(-\pi,\pi]$上“锯齿形”周期函数$f(x)=x$的傅里叶级数的函数图形） 注意图7与图2的区别在于：在所有不连续点$x=(2k+1)\pi$处，两个函数的函数值不同。 三、函数项级数的一致收敛 - 虽然狄利克雷成功地解决了傅里叶级数的收敛性问题，但是他发现他所证明的傅里叶级数收敛定理“与较早的柯西的一个定理有明显的矛盾”，这个“定理”是说： >“连续函数的收敛级数之和是连续的。” 具体来说，如果设$f(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_{n}(x)$ 收敛，并且各个函数项 $u_{n}(x)$都是连续函数，那么法国数学家柯西断言说，$f(x)$一定也是连续函数。 从狄利克雷证明的收敛定理容易发现：有许多在有限区间上连续的函数，他们的傅里叶级数在整个数轴上是不连续的，然而这些傅里叶级数中的每一项看上去又都是连续函数，上面的“锯齿形”周期函数$f(x)=x$的傅里叶级数就是一个很典型的例子。如果狄利克雷具有关于函数项级数一致收敛的明确概念，那么他就会立即发现这里的问题所在。然而不能不承认，此时的他只是明显地感觉到柯西的这个“定理”的结论有问题，但是却不清楚问题到底出在了哪里。 实际上，在狄利克雷指出这个论断有问题之前，挪威数学家阿贝尔就已经举例说明这个论断是不对的。而阿贝尔所给出的例子，正是与上面（8）式中的傅里叶级数相差$\frac{1}{2}$ 倍的三角级数： $$\sin x - \frac{1}{2}\sin 2x + \frac{1}{3}\sin 3x - \cdot \cdot \cdot $$ 虽然上述级数的每一项都是连续函数，然而由前面的等式（11）可以知道 $$\sin x - \frac{1}{2}\sin 2x + \frac{1}{3}\sin 3x - \cdot \cdot \cdot = \left\{ \begin{gathered} 0,x = - \pi \hfill \\ \frac{x}{2},x \in ( - \pi ,\pi ) \hfill \\ 0,x = \pi \hfill \\ \frac{{x - 2\pi }}{2},x \in (\pi ,3\pi ) \hfill \\ \end{gathered} \right.$$ （其余区间上的函数值类推），因此这个收敛的三角级数的和函数在所有的点$x=(2k+1)\pi$（$k$为整数）处都是不连续的！ 很明显，为了要保证收敛级数$f(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_{n}(x)$的和函数$f(x)$的连续性，除了$u_{n}(x)$都是连续函数的条件外，还必须要加上一个不可缺少的条件。在经过了许多的尝试之后，终于出现了德国数学家魏尔斯特拉斯关于函数项级数一致收敛的精确定义。 魏尔斯特拉斯是分析严密化的先驱，他也是数学历史上第一位提出有关函数极限的$\epsilon-\delta$定义的分析大师。这个非凡的定义不仅完全摆脱了依赖于变量趋近的直观图像，而且巧妙地回避了函数极限的最后瞬间会发生什么的问题，从而彻底地解决了长久存在的所有关于函数极限的困惑与争议。这个$\epsilon-\delta$定义将函数曲线上点的移动的动态语言换成了用不等式来刻画的静态语言，这样就能够把注意力集中在如何精确地表达“要多小就有多小”的问题上。 函数项级数一致收敛的定义是通过将函数极限的$\epsilon-\delta$定义与数列极限的$\epsilon-N$定义这两个定义综合起来而产生的。魏尔斯特拉斯给出的一致收敛定义是： >对于函数项级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_{n}(x)$来说，如果$I$是每项函数$u_{n}(x)$的定义域的公共区间，并且对任意给定的$\forall \epsilon >0$，存在$N$，使得对所有的$n\geq N$，对公共区间$I$上的一切$x$，都有 >$$|\sum_{n=1}^{n}u_{k}(x)-f(x)|<\epsilon ,$$ >则称$\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_{n}(x)$在$I$上一致收敛于$f(x)$。  图8：德国数学家魏尔斯特拉斯（Weierstrass，1815-1897）） 魏尔斯特拉斯还给出了广泛使用的判别一致收敛性的M判别法： >（M判别法）如果$|u_{n}(x)|\leq c_{n}(a\leq x\leq b)$，并且$\sum\limits_{n=1}^{\infty}c_{n}$ 收敛，则$\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_{n}(x)$在$[a,b]$ 上一致收敛。 这也就是说，如果函数项级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_{n}(x)$受一个数项级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}c_{n}$的“控制”，并且这个数项级数是收敛的，那么函数项级数就一定是一致收敛的。 下面我们就用一致收敛的定义，来严格地证明在数学分析的历史上影响深远的 >定理1 如果$\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_{n}(x)$在区间$[a,b]$上一致收敛于$f(x)$，且每一项$u_{n}(x)$ 都是$[a,b]$ 上的连续函数，则$f(x)$也是$[a,b]$ 上的连续函数。 证明：在区间$[a,b]$上任取一点$x_{0}$ ，则由一致收敛的已知条件可知，对任意的 $\epsilon>0$，存在$N$ ，使得当$n\geq N$ ，及$a\leq x \leq b$ 时，有 $$|\sum_{k=1}^{n}u_{k}(x)-f(x)|<\frac{1}{3}\epsilon,$$ 因此对这个$N$和$x_{0}$,分别有 $$|\sum_{k=1}^{N}u_{k}(x)-f(x)|< \frac{1}{3}\epsilon,\tag{12}$$ 和 $$|\sum_{k=1}^{N}u_{k}(x_{0})-f(x_{0})|< \frac{1}{3}\epsilon,\tag{13}$$ 又因为各个$u_{n}(x)$都是连续函数，所以$N$个连续函数之和$\sum\limits_{k=1}^{N}u_{k}(x)$ 也是连续函数，因此存在$\delta>0$，使得当$|x-x_{0}|<\delta$时， $$|\sum_{k=1}^{N}u_{k}(x)-\sum_{k=1}^{N}u_{k}(x_{0})|<\frac{1}{3}\epsilon,\tag{14}$$ 这样，由（12）、（13）和（14）式可知，对满足$|x-x_{0}|<\delta$ 的所有$x$ ，有 $$\begin{split} |f(x) - f({x_0})| & = |f(x) - \sum\limits_{k = 1}^N {{u_k}} (x) + \sum\limits_{k = 1}^N {{u_k}} (x) - \sum\limits_{k = 1}^N {{u_k}} ({x_0}) + \sum\limits_{k = 1}^N {{u_k}} ({x_0}) - f({x_0}){\text{|}} \\ &\leq |f(x) - \sum\limits_{k = 1}^N {{u_k}} (x)| + |\sum\limits_{k = 1}^N {{u_k}} (x) - \sum\limits_{k = 1}^N {{u_k}} ({x_0})| + |\sum\limits_{k = 1}^N {{u_k}} ({x_0}) - f({x_0}){\text{|}}\\ &\leq \frac{1}{3}\varepsilon + \frac{1}{3}\varepsilon + \frac{1}{3}\varepsilon = \varepsilon \end{split}$$ 从而$f(x)$在$x_{0}$点连续，由于$x_{0}$ 是$[a,b]$中的任意点，因此$f(x)$ 是$[a,b]$上的连续函数。证毕。 这个3段式的不等式估计的证明是数学分析中有关极限理论证明方面的典范。我们运用定理1的结论和微积分基本定理，还可以证明下面的 >定理2 如果$\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_{n}(x)$在区间$[a,b]$上一致收敛于$f(x)$，其中的每一项$u_{n}(x)$ 都在$[a,b]$ 上有连续的导函数$u_{n}’(x)$，并且$\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_{n}’(x)$在$[a,b]$上一致收敛，则$f(x)$在$[a,b]$上也有连续的导函数$f'(x)$，并且 >$$f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}’(x).$$ 这个定理的结论简单来说是：对于一个收敛的函数项级数，如果由每项的连续导函数所构成的级数是一致收敛的，那么该函数项级数是可以逐项求导的。 四、一致收敛概念对解热传导偏微分方程的应用 - 前面说过，傅里叶对所有的$t>0$，求出了热传导偏微分方程 $$u_{t}=ku_{xx}$$ 的解$u(x,t)$，这个偏微分方程有一个初始条件 $$u(x,0)=f(x),(0\leq x \leq \pi)$$ 傅里叶所求出的满足这个初始条件的解是（2）和（4）两式，其中的（2）式是 $$u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}c_{n}e^{-n^{2}kt} \sin nx.$$ 而用来确定系数的（4）式是 $$c_{n}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\sin nxdx,(n=1,2,\cdots).$$ 需要强调指出的是，傅里叶求出的由（2）和（4）一起组成的这个函数项级数的解，只是一个“形式解”，我们还没有确认（2）式中的函数项级数的收敛性（注意这个级数有两个变量：$x$ 与$t$ ，因此它是一个二元的函数项级数），其次，即便它收敛于某个二元函数，我们还需要证明这个二元函数一定是可导的，也就是说两个偏导数$u_{t}$ 和$u_{xx}$ 是存在的，最后，还要将这两个偏导数代入热传导偏微分方程，以验证它们确实满足该偏微分方程，这样才算真正求出了解。 在这里我们将看到，一致收敛的概念起着一个关键的作用。下面分两步来进行证明： （一）首先假定$f(x)$在$[0,\pi]$上可积，并且记积分值 $$c=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}|f(x)|dx,$$ 则由（4）式容易推得$|c_{n}|\leq c$。另一方面，对任意给定的$t_{0}>0$，当 $t\geq t_{0}$和$0\leq x \leq \pi$时，容易看出，（2）式中的二元的函数项级数受到数项级数 $$c\sum_{n=1}^{\infty}e^{-n^{2}kt_{0}}$$ 的控制，而由达朗贝尔（比式）判别法知道，这个数项级数是收敛的，因此再由M判别法，就得知（2）式中的函数项级数分别对$x\in [0,\pi]$和$t\in[t_{0},\infty)$，都是一致收敛的。 由于这里有两个变量，所以在下面为了避免重复论证两次，我们就直接在二元区域（而不是在两个闭区间）上来处理这类二元的函数项级数，这样，（2）式中的函数项级数 $$u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}c_{n}e^{-n^{2}kt} \sin nx$$ 对于$(x,t)\in [0,\pi]\times [t_{0},\infty)$来说,就是一致收敛的。此外由于$t_{0}$是任意正数，所以这个二元的函数项级数在区域$[0,\pi]\times (0,\infty)$ 上确实是收敛的。 （二）接下来为了证明偏导数$u_{t}$和$u_{xx}$都存在，我们先来看由（2）式中级数各项的相关偏导数构成的级数： >对$t$求偏导 $$\sum_{n=1}^{\infty}c_{n}(-n^{2}k)e^{-n^{2}kt} \sin nx.$$ >对$x$求偏导 $$\sum_{n=1}^{\infty}c_{n}(n)e^{-n^{2}kt} \cos nx.$$ >对$x$求两次偏导$$\sum_{n=1}^{\infty}c_{n}(-n^{2})e^{-n^{2}kt} \sin nx.$$ 因为以上这三个函数项级数都被数项级数 $$kc\sum_{n=1}^{\infty}n^{2}e^{-n^{2}kt_{0}} $$ 所控制，而同样由达朗贝尔（比式）判别法知道，这个数项级数是收敛的，因此再由M判别法知道，这三个函数项级数都在$[0,\pi]\times [t_{0},\infty)$上一致收敛。于是从上面讲的定理2可知，对级数 $$u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}c_{n}e^{-n^{2}kt} \sin nx.$$ 可以逐项求导，并且有等式 $$u_{t}=\sum_{n=1}^{\infty}c_{n}(-n^{2}k)e^{-n^{2}kt} \sin nx.$$ 和 $$u_{xx}=\sum_{n=1}^{\infty}c_{n}(-n^{2})e^{-n^{2}kt} \sin nx.$$ 这两个等式显然满足热传导偏微分方程$u_{t}=ku_{xx}$，因此（2）式中的级数$u(x,t)$在区域$[0,\pi]\times [t_{0},\infty)$上是该偏微分方程的解。最后再考虑到$t_{0}$是任意正数，我们就得出结论：（2）式中的级数$u(x,t)$ 在区域$[0,\pi]\times (0,\infty)$ 上确确实实是热传导偏微分方程的解！ 五、结束语 - 一致收敛的概念不仅对求解偏微分方程有用，而且它对理解后面泛函分析课程中的“完备的线性赋范空间（即Banach空间）”概念，也是很基本的。例如闭区间$[a,b]$上全体连续函数的集合$C[a,b]$就是一个完备的线性赋范空间，在这个空间中，每一个连续函数都被看成是一个“点”，“点”$x$ 与“点”$y$ 之间有一个距离 $$\rho(x,y)=\max_{t\in [a,b]}\{|x(t)-y(t)|\},$$ 由此就可以定义“点”列的收敛性，而收敛的“点”列其实就等价于在区间$[a,b]$ 上相应的连续函数列的一致收敛。 笔者写这篇文章的想法来自于《数学译林》杂志中的一篇好文章：“数学分析中的纽带——Fourier级数”，它登载在1993年（第12卷）的第2期的《数学译林》上。这篇好文章翻译自：由美国数学协会主办的、面向大学生的著名数学杂志《美国数学月刊》。 《数学译林》的这篇文章从傅里叶级数的角度，详细介绍了傅里叶级数对数学分析中的一系列概念起源的影响，这些概念包括了函数项级数的收敛与一致收敛、函数的严格定义、黎曼积分的严格定义、集合论的基本概念、测度论的基本概念和广义函数的基本概念等。读者可以仔细地阅读和欣赏这篇难得的好文章，从中一定可以获得更多有用的信息。