本文原载于微信公众号"小朱的读书笔记",文章链接:高等代数（线性代数）的50个学习要点（一）. 作者：`陈跃`$^{[1]}$，`朱善军`$^{[2]}$。 [1]上海师范大学数学系副教授; [2]同济大学数学系研究生在读. ------------ 第一章 矩阵初步 - 本章的开头是讲解经典的高斯消元法，可以用它来求解一般的线性方程组，并且在使学生初步掌握了求解所有线性方程组的最基本方法的同时，还可以从中自然引出系数矩阵、 增广矩阵、行初等变换等基本概念。然后讲述了最初步的矩阵理论，包括了矩阵的加法、数乘、矩阵的乘法和求逆矩阵的运算、矩阵的转置、分块矩阵与初等矩阵等内容。 >学习要点1:线性方程组的初等变换法（高斯消元法） 线性方程组的解一共有三种情形： ①有唯一解； ②无解； ③有无穷多个解，此时所有的解都能用“自由未知量”表示。 高斯消元法是解线性方程组最经典的方法，在整个高等代数（线性代数）课程中，从高斯消元法中提炼出来的行初等变换方法是一个反复使用的基本方法，例如在后面计算逆矩阵、矩阵的秩、向量组的极大无关组和若尔当标准形时，都会用到行初等变换。所以这个方法一定要熟练掌握，并且学生们应该认真体会从这个方法中提炼出的矩阵概念的用处(只要对线性方程组的系数运算就可以了，而不必每步运算都要写出全部的方程组未知量），特别是初等变换和初等矩阵的重要概念。 由于对方程组作三种初等变换就相当于是对系数增广矩阵作初等变换，所以首先要写出增广矩阵，然后根据需要作以下的行初等变换： （1）用一个非零的数去乘矩阵的某一行； （2）交换矩阵中两行的位置； （3）将一行（称为“主动行”）的倍加到另一行（称为“被动行”）上。 其中的第三种初等变换用得最频繁。在作第三种初等变换时，主动行乘上倍，然后再与被动行相加的过程都是依靠心算来完成的。但是初学者容易犯的一个错误是，在经过了心算以后，常常忘记主动行与被动行的区别，将心算的结果写在了下一个矩阵的主动行位置上。为了避免这个问题，我们设计推荐了一种画折线的计算步骤标示方法，即作第三种行初等变换时，要画出从主动行出发，到被动行终止的折线，并且要在折线的旁边写上所乘的倍数（见图1）。在这个图中还给出了其他两种行初等变换的标示方法。我们要求学生在初等变换计算中的每一步都要这样来标示。实践证明效果非常好，学生们在用了这个计算步骤的标示方法后，一般不再出错，并且一旦答案不对，也容易寻着折线来检查计算的过程，从而顺利找到问题所在。  图1：折线法标示初等变换 在对线性方程组的增广矩阵进行行初等变换时，要将矩阵化为简化阶梯阵。有了这个简化阶梯阵，就可以顺利写出线性方程组的解。简化阶梯阵在后面计算向量组的极大无关组时要用到。    >学习要点2:矩阵的加减法、数乘和矩阵的乘法 矩阵的乘法是矩阵最重要的运算，矩阵乘法是一种具有丰富内涵的运算，具有广泛的应用价值。如果没有矩阵的乘法，那么矩阵就如同向量一样，只能作加法和数乘了，这样也就没有多姿多彩的矩阵论了。所以学生们要熟练正确地进行矩阵乘法的运算。矩阵乘法的结合律是矩阵乘法最基本的性质。学生们应该要能够自己独立地证明矩阵乘法的结合律： $$(AB)C=A(BC),$$ 这是因为这个结合律的证明方法是证明两个矩阵相等的基本方法。 虽然矩阵的乘法有结合律，但是它却没有交换律。这是学生们首次遇到的没有交换律的乘法，然而这种乘法又是十分有用的，例如物理学中就要经常使用没有交换律的乘法。我们也可以这样想：正是因为矩阵的乘法没有了交换律，矩阵论才变得比较有意思。 `例题1.4` 设$A=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\ \end{array} \right)$,求$A^{k}$. `提示`:根据矩阵乘法具有结合律,可优先计算$\left( \begin{array}{ccc} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \\ \end{array} \right)=1+1+1=3.$ >学习要点3:矩阵的转置与分块 矩阵的分块是一种常用的矩阵方法，它的基础就是矩阵乘法的定义。当一个矩阵中有许多零元素时，使用分块矩阵特别方便。特别是分块矩阵的计算方法，在做分块矩阵的证明题时，往往就是在对分块矩阵进行计算。 `例题1.5` 已知向量$\alpha=(a,b,c)^{T},$其中分量满足条件$a^{2}+b^{2}+c^{2}=2$,设$H=I_{3}-\alpha \alpha^{T}$,求$H^{2}$并证明$H$是对称矩阵. `提示`:根据矩阵乘法结合律以及题中已知条件,易知$H^{2}=I_{3}$.同时根据矩阵各个转置性质,可知$H^{T}=H$. `例题1.6` 设$A=\left( \begin{array}{c} A_{1} \\ \vdots \\ A_{s} \\ \end{array} \right)$,其中$$A_{i}=(a_{i1},a_{i2},\cdots,a_{in}).i=1,2,\cdots,s.$$ 证明:$A^{T}A=\sum_{i=1}^{n}A_{i}^{T}A_{i}$. `提示`:根据分块矩阵的乘法可证. >学习要点4:逆矩阵 逆矩阵是矩阵乘法运算的产物，求逆矩阵的运算相当于是矩阵的“除法”。如果一个有$n$个未知量$n$个方程的线性方程组的系数矩阵是一个可逆矩阵，那么求逆矩阵的过程基本上就是解方程的过程。因此计算逆矩阵用的也是高斯消元法。 要特别注意在乘积矩阵的逆矩阵公式 $$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$$ 中，等式右边矩阵的乘积顺序和左边的乘积顺序是相反的。这里有一个“穿鞋”比喻：穿鞋的过程是先穿袜子再穿鞋，脱鞋的过程是先脱鞋再脱袜子，如果$A$表示穿袜子，$B$表示穿鞋子，那么乘积$AB$就表示整个穿鞋的过程：“先穿袜子再穿鞋”，此时，$A^{-1} $表示脱袜子，$B^{-1} $表示脱鞋，而$(AB)^{-1}$就表示整个“脱鞋”的过程。这样，上述公式的右边正是“先脱鞋再脱袜子”。 `例题1.7` 已知方阵 $$A=\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ \end{array} \right),$$ 其中$ad-bc=1$,试求$A$的逆矩阵. `提示`:可设逆矩阵为$B$,由$AB=BA=E$,可知 $$A^{-1}=\left( \begin{array}{cc} d & -b \\ -c & a \\ \end{array} \right).$$ `例题1.8` 设方阵$A$满足等式$A^{2}+2A-2I=0$,证明:$A$可逆并求$A^{-1}$. `提示`:先将等式$A^{2}+2A-2I=0$改写为$(A+2I)A=2I$. >学习要点5:初等矩阵 初等矩阵一共有三种，它们分别对应了三种行初等变换。初等矩阵是可逆矩阵。 要熟练掌握计算逆矩阵的初等变换法，并且在计算时用折线表示第三种初等变换。 对矩阵进行一次行初等变换相当于左乘相应的初等矩阵。$n$阶方阵可逆的充要条件是它可以写成初等矩阵的乘积。 `例题1.9` 把矩阵 $$\left( \begin{array}{cc} a & 0 \\ 0 & a^{-1} \\ \end{array} \right)$$ 表示成 $$\left( \begin{array}{cc} 1 & x \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right)$$ 及 $$\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ y & 1 \\ \end{array} \right)$$ 型矩阵的乘积. `提示`:只需要对题中矩阵作第三种初等变换即可. `例题1.10` 设 $$A=\left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & -3 \\ 1 & 2 & -2 \\ 1 & -3 & -2 \\ \end{array} \right),$$ 求$A^{-1}$. `提示`:考虑构造$3\times 6$型矩阵$$\left( \begin{array}{cc} A & I \\ \end{array} \right),$$对其施以行初等变换,化为简化阶梯阵 $$\left( \begin{array}{cc} I & A^{-1} \\ \end{array} \right).$$