本文首发于"小朱的读书笔记",作者:`朱善军` ------------ 数学物理方程是大学数学系后续课程之一，主要讨论三类基本方程(`双曲型方程`、`抛物型方程`、`椭圆型方程`）的典型例子。特别是，你在学习数学物理方程的时候，会接触到以下几个方程: - 一维弦振动方程,$n$维波动方程; - 泊松(Poisson 方程)/位势方程; - 热传导方程； - ...... 这些方程有自己的基本形式，因此有必要熟悉这些方程的形式来达到对三类方程的基本理解。 问题1:上述所说的方程表达形式是什么? - $n$维波动方程： >$\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}-a^{2} \Delta u=f.$ 热传导方程: >$\frac{\partial u}{\partial t}-a^{2} \Delta u=f.$ 泊松(Poisson）方程/位势方程（$f=0$则为调和方程或者拉普拉斯方程）: >$-\Delta u=f.$ 注意到上述方程中波动方程与热传导方程在形式上略有区别，前者是$u$关于时间$t$作二阶导数，后者则是$u$关于时间$t$作一阶导数，而位势方程$u$与时间$t$无关。$\Delta$则是表示拉普拉斯算子，其基本形式为: $$\Delta=\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial^{2}}{\partial x_{i}^{2}}$$ 此外，一维弦振动方程也就是将波动方程$\Delta u$写成$u_{xx}$，要注意二者的区别和联系。 问题2:数学物理方程与偏微分方程到底有多大区别? - 我们时常说偏微分方程是现代数学的一大分支，尤其是现代偏微分方程发展过于快速使得很少有人能够精通每一类方程。数学物理方程作为偏微分方程的低阶版本，那么它与偏微分方程的区别在哪里?或者说它们的侧重点各在何处? >`数学物理方程`:侧重于模型的建立以及定解问题的解决方法;\ `偏微分方程`:侧重于其自身所独有的理论。 因此，你也会发现数学物理方程中会出现大量的现实模型，并且根据这些模型导出一些诸如热传导方程、波动方程等一系列有趣的方程。针对这些方程的解决办法，自然是采取微积分里面的一些理论即可解决，比如常见的方法有:`傅里叶级数法、积分变换法、特征线法`等。 而当正式在本科大四或者研究生期间学习偏微分方程时，你首先需要关注的自然是所谓“恰当”的函数空间——索伯列夫空间。在这样的泛函空间里面考虑一系列问题的必要性，自然是要将一大类偏微分方程的解所满足的条件放宽，即考虑所谓的`弱解`。其实，弱解的定义方式还是有一定的门道，可以说在整个偏微分方程领域里面弱解的定义方式还是很类似的。 问题3:偏微分方程解的性质有哪些? - 我们时常说考虑实际问题中所得到的方程的解，那么问题来了，我们到底要研究解的什么性质?这个道理就跟我们要研究化学中石墨烯的基本性质一样，我们的考量对象——偏微分方程的解，到底要研究它的什么性质? >解的性质:适定性、定性性质(极值原理、能量估计、光滑性、渐进性等)。 这里所说的偏微分方程解的适定性，指的就是解的存在性、唯一性、稳定性。所谓的存在唯一性，其实我们早在常微分课程中就已经学习到了，那里所说的`皮卡存在唯一性定理`恰恰是指出了常微分方程的解在一定的条件下的存在性和唯一性，可以说该定理是常微分方程理论中的最基本定理。至于稳定性，则是指解关于参数的连续依赖性，即当定解条件(如初始条件和边界条件)以及方程的系数有微小变动时，相应的解也只有微小变动。 光滑性其实一般也叫做正则性，在整个偏微分方程理论中，我们时常要通过一些途径将方程的解的正则性进行提升。极值原理和能量估计其实在数学物理方程中也会出现，它们可以充当基本工具来对解的唯一性等给出理论上的支撑。当然，在数学物理方程中，它们的表达式也反映了一些物理上的基本现象。 如果带着研究解的相关性质这个目的出发去读偏微分方程相关的书籍，那么将会明白一些定理到底在说一些什么。甚至于说，对于一些解的存在性证明所使用的套路也是很平常的，自然就不用太惊讶于它背后的技巧和方法。 问题4:怎么对数学物理方程中出现的方程进行分类的? - 相信很多读者会比较好奇:为什么波动方程就是双曲型方程，热传导方程就是抛物型方程，位势方程就是椭圆型方程? 要想回答上述问题，就不得不提到二阶线性偏微分方程的一般形式: $$\sum_{i, j=1}^{m} a_{i j} \frac{{\partial}^{2} u}{\partial x_{i} \partial x_{j}}+\sum_{i=1}^{m} b_{i} \frac{\partial u}{\partial x_{i}}+c u=f.$$ 这里的$u=u(x_{1},x_{2},\cdots,x_{m})$. 在上述二阶方程中，我们仅仅考虑两个自变量的二阶线性偏微分方程，就有 $$a_{11}u_{11}+2a_{12}u_{12}+a_{22}u_{22}+b_{1}u_{1}+b_{2}u_{2}+cu=f.$$ 则上述方程的分类有下列情况: >$\Delta=a_{12}^{2}-a_{11}a_{22}>0$,则是双曲型方程; $\Delta=a_{12}^{2}-a_{11}a_{22}=0$,则是抛物型方程; $\Delta=a_{12}^{2}-a_{11}a_{22}<0$,则是椭圆型方程. 关于上述结论可以参考任何一本讲解偏微分方程的书籍，此外针对$n$个变量的方程分类问题也有相应的结果。下面请试试看如何说明: >Problem：波动方程是双曲型方程，热传导方程是抛物型方程，位势方程是椭圆型方程!