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作者：`朱善军`.
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>1、计算不定积分$$\int {\frac{{dx}}{{(2 + si{n^2}x)\cos x}}} .$$
提示：令$\sin x = t$，$\cos xdx = dt.$
答案：$\frac{1}{6}\ln \left| {\frac{{1 + \sin x}}{{1 - \sin x}}} \right| + \frac{1}{{3\sqrt 2 }}\arctan (\frac{{\sin x}}{{\sqrt 2 }}) + C.$
>2、计算定积分$$\int_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{{\sin }^3}x}}{{{{\sin }^3}x + {{\cos }^3}x}}} dx . $$
提示：可换元$t = \frac{\pi }{2} - x$.
答案：$\frac{\pi }{4}.$
>3.计算定积分$$\int_0^1 {\frac{{\ln (1 + x)}}{{1 + {x^2}}}} dx. $$
方法一:(`三角代换`)令$x=\tan t$;
方法二:(`分式代换`)令$x=\frac{1-t}{1+t}$;
答案:$\frac{\pi }{8}\ln 2.$
>4.计算定积分$$\int_{ -1}^1 {\frac{{2{x^2}{\rm{+}}x\cos x}}{{1+\sqrt{1-{x^2}} }}} dx.$$
提示:注意到被积函数中$\frac{x\cos x}{1 + \sqrt{1 - x^{2}}}$是奇函数，并且该定积分积分区间关于原点对称;
答案:$4 - \pi$.
PartI：MATLAB解不定积分
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MATLAB里面主要用`int`函数来求符号函数的不定积分，这里的int实际上是取自“积分”英文名interval的前三个字母。主要有两种调用格式：
- int(f);
- int(f,v).
二者有明显区别，其中第二个多了一个$v$表示是$v$作为自变量的，然而对被积函数或者符号函数$f$求不定积分的。第一个则是根据symvar函数默认的变量求不定积分的。
这样不同处理的原因是明显的，往往在求不定积分时被积函数含有两个乃至多个变量，这时候选定积分变量是特别关键的。
```
%%%%%在命令行窗口输入以下代码
>> x=sym('x')
>> f=1/((2+sin(x)^2)*cos(x))
>> int(f)
%%%%%%运行结果输出
ans =
atanh(sin(x))/3 + (2^(1/2)*atan((2^(1/2)*sin
(x))/2))/6
```
PartII：MATLAB解定积分
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求符号函数的定积分同样需要借助所谓的int函数，其实在LATEX代码中积分也是用int函数所写的，但需要加上一个斜杠:\int。那么定积分与不定积分的一个比较大的区别就是：前者有积分上下限，因此在调用格式的时候你还需要把积分上下限给写进去。通常情况下积分上下限$a,b$有以下几种选择：
- 具体的数；
- 符号表达式；
- 无穷(inf)；
```
>> x=sym('x')
>> int(sin(x)^3/(sin(x)^3+cos(x)^3),0,pi/2)
ans =
pi/4
%%%%%对照第二题结果
>> f=log(1+x)/(1+x^2)
>> int(f,0,1)
ans =
(pi*log(2))/8
%%%%%对照第三题结果
```
用MATLAB计算积分题示例
Math-Zhu
