一、梯度 - Definition1 `梯度（gradient）`：是用数量函数$u(x,y,z)$所定义的向量函数 $$gradu{\text{ = (}}\frac{{\partial u}}{{\partial x}},\frac{{\partial u}}{{\partial y}},\frac{{\partial u}}{{\partial z}}).$$ 而且我们规定梯度的方向是使得$\frac{{\partial u}}{{\partial l}}$达到最大值的方向，梯度的大小就是 在这个方向上的方向导数。 Remark1 由梯度给出的向量场，称为梯度场。 Definition2 `哈密顿算符`：我们称$\nabla$为哈密顿算符，其中$\nabla {\text{ = (}}\frac{\partial }{{\partial x}},\frac{\partial }{{\partial y}},\frac{\partial }{{\partial z}})$. 则我们可以得到 $$gradu{\text{ = }}\nabla u.$$ Property(梯度基本性质 ) （1）若$u,v$是数量函数,则$\nabla (u + v) = \nabla u + \nabla v$. （2）若$u,v$是数量函数,则$\nabla (uv) = u\nabla v + (\nabla u)v$. 特别地，我们令上面的$u=v$ ，则$\nabla {u^2} = 2u(\nabla u)$. 二、散度 - Definition3 `散度（divergence）`：设 $A(x,y,z){\text{ = (}}P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))$为空间区域$V$上的向量函数，对于$V$上每一点$(x,y,z)$，定义数量函数 $$D(x,y,z){\text{ = }}\frac{{\partial P}}{{\partial x}} + \frac{{\partial Q}}{{\partial y}} + \frac{{\partial R}}{{\partial z}},$$ 称它为向量函数$A$在(x,y,z)处的散度，记作$D(x,y,z){\text{ = }}divA(x,y,z)$. Remark（1）由向量场$A$的散度$divA$所构成的数量场，称为散度场。 （2）由数学分析的知识知，高斯公式可以写为 $$\iiint\limits_V (\frac{{\partial P}}{{\partial x}} + \frac{{\partial Q}}{{\partial y}} + \frac{{\partial R}}{{\partial z}})dxdydz = \mathop{{\int\int}\mkern-21mu \bigcirc}\limits_S {Pdydz + Qdzdx + Rdxdy} $$ 我们用上述的符号即可改写为： $$\iiint\limits_V {divA}{\text{ }}dV = \mathop{{\int\int}\mkern-21mu \bigcirc}\limits_S {A \cdot dS} .$$ Property(散度基本性质) （1）散度与哈密尔顿算符的关系：$$\nabla \cdot u = div{\text{ }}u.$$ （2）若$u,v$都是向量函数,则$$\nabla \cdot (u + v) = \nabla \cdot u + \nabla \cdot v.$$ （3）若$\phi$是数量函数,$F$是向量函数,则$$\nabla \cdot (\varphi F) = \varphi \nabla \cdot F + F\nabla \cdot \varphi.$$ （4）若$\varphi {\text{ = }}\varphi (x,y,z)$是一数量函数,则 $$\nabla \cdot \nabla \varphi {\text{ = }}\frac{{{\partial ^2}\varphi }}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}\varphi }}{{\partial {y^2}}} + \frac{{{\partial ^2}\varphi }}{{\partial {z^2}}}.$$ 这里我们把哈密顿算符$\nabla$的内积$\nabla \cdot \nabla$常记作$\Delta $，于是有 $$\nabla \cdot \nabla \varphi {\text{ = }}\Delta \varphi .$$ $\Delta=\nabla \cdot \nabla=\frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {y^2}}} + \frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {z^2}}}$称为拉普拉斯算符. 三、基本公式 - 1.(stokes公式/散度定理/分部积分公式)$\Omega \subset {R^n}$是一个有界光滑区域，那么对于属于$C^{1}$的$n$维向量值函数$v$,下面的积分公式成立: $$\int\limits_\Omega {\nabla \cdot vdx = } \int\limits_\Omega {{\text{div }}vdx = } \int\limits_{\partial \Omega } {v \cdot ndS,} $$ 其中$n$是$\Omega$的边界$\partial\Omega$上的单位外法向量， $dS$是 $\partial\Omega$上的面积元素。 Remark：当n=1,2,3时，上述公式所对应的就是微积分中的牛顿-莱布尼兹(N-L)公式，格林（Green）公式，高斯（Gauss）公式。 2.`(格林第二公式）`$\iiint\limits_\Omega {(u\Delta v} - v\Delta u)d\Omega = \iint\limits_{\partial \Omega } {(u\frac{{\partial v}}{{\partial n}}} - v\frac{{\partial u}}{{\partial n}})dS $ Remark: Green第二公式是由Green第一公式得到的,只需交换u和v次序即可. 3.`调和函数的平均值定理（公式）`：调和函数在其定义域$\Omega $任一点的值，等于它在以该点为心且包含于$\Omega $的球(球面)上的平均值. $$u(x) = \frac{1}{{\left| {\partial {B_\rho }(x)} \right|}}\int\limits_{\partial {B_\rho }(x)} {u(y)d{S_y}} = \frac{1}{{\left| {{B_\rho }(x)} \right|}}\int\limits_{{B_\rho }(x)} {u(y)dy}.$$ Remark:上式称为调和函数的平均值公式,事实证明后两个式子是等价的。 四、几个基本原理 - 1.`调和函数的（强）极值原理`：假设函数$u$在区域$\Omega $内调和,如果$u$不是常数，则$u$在$\Omega $内既达不到最大值也达不到最小值。 2.`调和函数的比较原理`：假设函数$u$和$v$在区域$\Omega $内调和,如果在边界$\partial\Omega$上$u\leq v$,则在$\overline \Omega$上$u\leq v$成立。 3.`Liouville定理`：全空间上的有界调和函数一定是常数。 Remark:该定理证明过程要用到调和函数的平均值公式。 4.`调和函数的逆平均值定理`：设函数$u$在区域$\Omega $内连续，且对于任一球$B = {B_R}(x)\subset \subset \Omega $满足平均值公式$u(x) = \frac{1}{{{w_n}{R^{n - 1}}}}\int\limits_{\partial B} {udS}$.那么$u(x)$在区域$\Omega $内调和. 五、Harnack家族 - 1.`哈纳克（Harnack）第一定理（关于调和函数序列的一致收敛性定理）``：假设函数序列$\{u_{k}\}_{k=1}^{\infty}$中的每一个函数都在有界区域$\Omega $内调和、在$\overline \Omega $上连续,如果$\{u_{k}\}_{k=1}^{\infty}$在 $\partial\Omega$上一致收敛，那么 $\{u_{k}\}_{k=1}^{\infty}$在 $\Omega $内也一致收敛，并且极限函数 $u$是区域$\Omega $内的调和函数 Remark：该定理是逆平均值定理的一个直接应用。 2.哈纳克（Harnack）不等式：设$u$是区域$\Omega $内的非负调和函数,则对于任一有界子区域$ \Omega ’\subset \subset \Omega $ ，存在一个正常数$C=C（\Omega ’）$，使得 $$\mathop {\max }\limits_{\overline {\Omega '} } u \leqslant \mathop {C\min }\limits_{\overline {\Omega '} } u.$$ 3.哈纳克（Harnack）第二定理：假设 $\{u_{k}\}_{k=1}^{\infty}$是 $\Omega $中单调增加的调和函数列，$y\in \Omega $是固定点，数列 $\{u_{k}\}_{k=1}^{\infty}$收敛.那么，函数列 $\{u_{k}\}_{k=1}^{\infty}$在 $\Omega $的仍一有界子域 $\Omega ’$中一致收敛于一个调和函数。 Remark :该定理是哈纳克不等式的直接应用。