本文原载于微信公众号"小朱的读书笔记",文章链接:高等代数（线性代数）的50个学习要点（四）. 作者：`陈跃`$^{[1]}$，`朱善军`$^{[2]}$. [1]上海师范大学数学系副教授; [2]同济大学数学系研究生在读. ------------ # 第七章 线性空间 本章主要讲授线性空间及其子空间的构造。首先是线性空间的定义，然后以第三章已经学习过的$n$维向量空间$\mathbb{F}^{n}$的线性相关理论为参照，平行地展开线性空间的线性相关理论，并给出基、维数和向量坐标的定义。接下来讲同一个线性空间中两个基之间的过渡矩阵与坐标变换。这一章接下来分别介绍子空间及其基、子空间的交与和及其维数的计算、多个子空间的直和等内容。 学习要点33:线性空间的定义和基本性质 - 线性空间是一个比高维向量空间还要抽象的几何空间概念，其中定义了加法和数乘这两种运算，这两种运算要满足线性空间中的`8条公理`。 学生应该通过课本例题和习题中所给出的各种线性空间例子，来慢慢熟悉线性空间这个抽象概念，并且学会逐个验证线性空间的8条公理和证明一些线性空间定义的推论。 >习题7.1 设$\mathbb{R}^{+}$是全体正实数的集合,在此集合中定义加法和数乘如下: >$$a[+]b=ab,k\circ a=a^{k},(a,b\in \mathbb{R}^{+},k\in \mathbb{R} ),$$ >证明:$\mathbb{R}^{+}$对运算$[+]$和$\circ$构成实数域$\mathbb{R}$上的线性空间. `提示`:容易说明加法封闭和数乘封闭.下面只需依次证明$[+]$和$\circ$这两个运算满足8条公理.值得注意的是,这里的"加法"实际上是$\mathbb{R}$中的乘法,"数乘"实际上是$\mathbb{R}$中的"求幂运算". 学习要点34:线性空间的线性相关理论、基、维数和向量坐标 - 线性空间的基对于刻画一个线性空间来说是至关重要的。为此必须要有和$n$维向量空间一样的`线性相关、线性无关`的概念。 对于线性空间$V$来说，如果它有一组向量线性无关，并且$V$的每一个向量都可以由这个向量组线性表示，那么这个向量组称为$V$的一个基，基所包含的向量个数称为$V$的`维数`。如果要证明一组个数与维数相等的向量组是该空间的基，只需证明这组向量线性无关即可。 >习题7.2 在线性空间$\mathbb F [x]_{n}$中,证明向量组$1,x-a,(x-a)^{2},\cdots,(x-a)^{n}$是一个基,并且求$\mathbb F [x]_{n}$中任意一个向量$f(x)$在这个基下的坐标. `提示`:先证明这个向量组线性无关.再设$f(x)$是$\mathbb F [x]_{n}$中任意一个多项式,通过不断求导待定系数的方法依次确定$f(x)$在基下的坐标. 学习要点35:两个基之间的过渡矩阵与坐标变换 - 如果在$n$维线性空间$V$中给定了两个基，那么$V$中每一个向量在这两个基下就有两个坐标。借助于这两个基之间的`过渡矩阵`，可以获得两个坐标之间的转换关系。 >习题7.3 在线性空间$\mathbb{F}^{n}$中,求向量$\alpha=(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n})^{T}$在基 >$$\alpha_{1}=(1,0,\cdots,0)^{T},\alpha_{2}=(1,1,0,\cdots,0)^{T},\cdots,\alpha_{n}=(1,1,\cdots,1)^{T}$$ >下的坐标. `提示`:考虑由$\mathbb{F}^{n}$的标准正交基$\epsilon_{1},\epsilon_{2},\cdots,\epsilon_{n}$到基$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}$的过渡矩阵. 学习要点36:子空间及其基 - 子空间的概念可以帮助我们更深入地弄清楚一个线性空间的具体结构。线性空间$V$的一个非空子集$W$是$V$的`子空间`的充要条件是：对任意的$\alpha,\beta\in W$ 和任意的数$a,b$,都有$a\alpha+b \beta\in W$。 在求一个生成子空间的基及维数时，要注意生成子空间的生成元的极大无关组就是这个子空间的基。 >习题7.4 在$\mathbb{F}^{4}$中,由向量组$\alpha_{1}=(1,2,1,5)^{T}$,$\alpha_{2}=(5,3,-9,4)^{T}$,$\alpha_{3}=(3,7,5,18)^{T}$,$\alpha_{4}=(3,5,1,12)^{T}$,$\alpha_{5}=(-2,1,8,5)^{T}$ 生成的子空间的一个基和维数. `提示`:$\alpha_{1},\alpha_{3}$是生成子空间的一个基,对应的维数是2. 学习要点37:子空间的交与和 - （`子空间交与和的维数公式`） $$dim(V_{1}+V_{2})+dim(V_{1} \bigcap V_{2})=dimV_{1}+dimV_{2}.$$ 在求两个生成子空间的交与和的基及维数时，同样要注意生成子空间的生成元的极大无关组就是这个子空间的基。 >习题7.5 在$\mathbb{R}^{4}$空间中,$V_{1}=L(\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}),V_{2}=L(\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3})$, 其中 >$$\alpha_{1}=(1,1,0,2)^{T},\alpha_{2}=(1,1,-1,3)^{T},\alpha_{3}=(1,2,1,-2)^{T},$$ >$$\beta_{1}=(1,2,0,-6)^{T},\beta_{2}=(1,-2,2,4)^{T},\beta_{3}=(2,3,1,-5)^{T},$$ >分别求$V_{1}+V_{2}$，$V_{1}\bigcap V_{2}$的一个基与维数. `提示`:考虑$V_{1}+V_{2}=L(\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3})$,所以$\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3}$的一个极大无关组就是$V_{1}+V_{2}$的一个基.根据第三章的知识,我们可以得出$\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\beta_{1}$就是$V_{1}+V_{2}$的一个基,因此$dim(V_{1}+V_{2})=4$.此外根据子空间交与和的维数公式,可得$dim(V_{1}\bigcap V_{2})=3+3-4=2$. 学习要点38:子空间的直和 - 子空间的直和是一种特殊的子空间和。有了直和的概念，就可以根据需要把一个有限维线性空间分解成它的一系列子空间的直和，从而彻底弄清楚线性空间的内部结构。要掌握子空间`直和`的几个判别条件，并且会证明这几个判别条件等价。 >习题7.6 证明:每一个$n$维线性空间都可以表示成$n$个一维子空间的直和. `提示`:设$V$是$n$维空间,而$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}$是它的一组基,于是$L(\alpha_{i})$都是$V$的一维子空间,且 $$L(\alpha_{1})+L(\alpha_{2})+\cdots+L(\alpha_{n})=L(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n})=V.$$ 又由于$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}$为基,零向量只有唯一的表示方法,因此上述和为直和,即 $$V=L(\alpha_{1})\bigoplus L(\alpha_{2})\bigoplus \cdots\bigoplus L(\alpha_{n}).$$ # 第八章 线性变换 本章属于本课程中比较抽象的一章，它在第七章的基础上，将前面各章的内容综合了起来。首先引入线性变换的定义，然后再引导出线性变换的加法与数乘等运算的概念。然后在确定了线性变换与矩阵之间自然的对应关系，这为运用矩阵理论的各项结论做好了准备。接下来进一步给出了线性变换的核与线性方程组的解空间、线性变换值域的维数与矩阵的秩之间的紧密联系。这一章的最后主要研究线性变换的特征值与对角化问题，由此给出了矩阵对角化的几何意义，其中线性变换的不变子空间是准对角矩阵的几何表现，而线性变换是否可对角化则完全取决于其特征子空间的直和是否等于全空间。 学习要点39:线性变换的概念与线性变换的运算 - 线性空间$V$上的变换$\sigma$如果满足：对任何$\alpha,\beta\in V$ 和$k\in\mathbb{F}$, $$\sigma(\alpha+\beta)=\sigma(\alpha)+\sigma(\beta),\sigma(k \alpha)=k \sigma(\alpha).$$ 那么就称$\sigma$是线性空间$V$的`线性变换`。 不同线性变换之间可以进行加法、乘法和数乘的运算。 >习题7.6 对$\mathbb{R}^{3}$中两个线性变换 >$$\sigma \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ \end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} 0 \\ x \\ y \\ \end{array} \right)$$与$$\tau \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ \end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} x \\ z \\ 0 \\ \end{array} \right),$$ >求线性变换$\sigma \tau$,$\tau \sigma $,$\sigma^{2}$,$(\sigma+\tau)^{2}$. `提示`:由乘积变换的定义即可得出结果.根矩阵的乘积类似,此外我们应当看到线性变换的乘法之间是不可交换的(怎么看出来的?).这里可以引发一个思考:满足什么条件下的两个线性变换乘积可以交换?这是一个非常有趣的问题. 学习要点40:线性变换的矩阵 - 在线性空间$V$中取定了一个基，那么线性空间$V$上的每个线性变换都对应了一个矩阵，称为该线性变换的矩阵。这样，不同线性变换之间的加法、乘法和数乘的运算就分别对应了矩阵的加法、乘法和数乘的运算。 同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的，反过来两个相似矩阵可以看作同一线性变换在不同基下的矩阵。 >习题8.2 设$\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4}$是线性空间$V$的一个基,并且$V$上的线性变换$\sigma$在这个基下的矩阵是 >$$A=\left( \begin{array}{cccc} -1 & -2 & -2 & -2 \\ 2 & 6 & 5 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 2 & 6 \\ \end{array} \right),$$ >设$\beta_{1}=\alpha_{1}$,$\beta_{2}=-\alpha_{1}+\alpha_{2}$,$\beta_{3}=-\alpha_{2}+\alpha_{3}$,$\beta_{4}=-\alpha_{3}+\alpha_{4}$. (1)证明向量组$\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3},\beta_{4}$也是$V$的一个基; (2)求$\sigma$在基$\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3},\beta_{4}$下的矩阵$B$; (3)设$\gamma=3\alpha_{1}-\alpha_{2}+\alpha_{4}$,求$\sigma(\gamma)$在基$\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3},\beta_{4}$下的坐标. `提示`:(1)只需证明从$\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4}$到$\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3},\beta_{4}$是可逆矩阵即可; (2)容易计算得到 $$B=\left( \begin{array}{cccc} 1 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & 4 \\ \end{array} \right);$$ (3)先计算$\gamma$在基$\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3},\beta_{4}$下的坐标为$(3,0,1,1)^{T}$,再计算$\sigma(\gamma)$的坐标,其最终结果为:$(3,6,4,6)^{T}$. 学习要点41:线性变换的核与值域 - 线性空间$V$上的线性变换$\sigma$的`核`是 $$Ker(\sigma)=\{\alpha\in V |\sigma(\alpha)=0\} ,$$ 线性空间$V$上的线性变换$\sigma$的值域是 $$Im(\sigma)=\{\sigma(\alpha)|\alpha \in V\}.$$ 可以通过线性空间$V$的一个基来表示$\sigma$的值域，并且$\sigma$的核的维数与 $\sigma$的值域的维数之和等于线性空间$V$的维数。 >习题8.3 在$\mathbb{F}^{3}$ 中,线性变换$\sigma$满足 >$$\sigma \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} x+2y-z \\ y+z \\ x+y-2z \\ \end{array} \right) ,$$ >试求线性变换的核$Ker(\sigma)$与值域$Im(\sigma)$及它们的一个基. `提示`:考虑令$\sigma \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ \end{array} \right)=0$,则通过解齐次线性方程组可得基础解系为$\alpha=(3,-1,1)^{T}$.因此$Ker(\alpha)=L(\alpha)$.另外记 $$A=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \\ \end{array} \right),$$ 我们考虑矩阵$A$的三个列向量(从左到右)分别记为$A_{1},A_{2},A_{3}$,则易于证明$Im(\sigma)=L(A_{1},A_{2}).$ 学习要点42:线性变换的不变子空间 - 为了使线性变换的矩阵更加简单，就需要不变子空间的概念。如果$\sigma$是线性空间 $V$上的线性变换，$W$是$V$的子空间，并且对任何$\alpha\in W$,都有$\sigma(\alpha)\in W$,那么就称$W$是$\sigma$的`不变子空间`。 >习题8.4 设$T_{1},T_{2}$是线性空间$V$的两个线性变换.证明:若$T_{1}$与$T_{2}$可交换,则$T_{1}$的特征子空间对$T_{2}$不变. `提示`:设$\lambda_{1}$是$T_{1}$的一个特征值,$V_{\lambda_{1}}$是属于特征值$\lambda_{1}$的特征子空间,则$V_{\lambda_{1}}$ 对$T_{1}$不变.再设$\alpha\in V_{\lambda_{1}}$,根据两个线性变换的可交换性可知$$T_{2}\alpha \in V_{\lambda_{1}},$$即$V_{\lambda_{1}}$对$T_{2}$也不变. 学习要点43:线性变换的特征值与特征向量 - 如果$\sigma$是线性空间$V$上的线性变换，若存在数$\lambda$和向量$\alpha$ 满足 $$\sigma(\alpha)=\lambda \alpha,$$ 则称$\lambda$是$\sigma$的一个`特征值`，$\alpha$是$\sigma$的属于$\lambda$ 的一个`特征向量`。 线性变换的特征值与特征向量的求法是：利用线性变换$\sigma$的矩阵$A$，先求出$A$的特征值与特征向量，然后以这些特征向量作为坐标，就可以写出该线性变换的特征向量。 >习题8.5 设线性空间$M_{2}(\mathbb{R})$上的线性变换如下:对任何 >$$Z=\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ \end{array} \right) \in M_{2}(\mathbb{R}),\sigma(Z)=\left( \begin{array}{cc} 2a-b & -3a \\ 3d & 3c \\ \end{array} \right).$$ >求$\sigma$的特征值与特征向量. `提示`:先求$\sigma$在$M_{2}(\mathbb{R})$的一个基$E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}$下的矩阵$A$,再计算$A$的特征值和特征向量. 学习要点44:线性变换的对角化问题 - 如果$\sigma$是线性空间$V$上的线性变换，并且存在$V$的一个基，使得$\sigma$ 在这个基下的矩阵是对角矩阵，那么就称$\sigma$ 是`可对角化`的线性变换。 关于线性变换$\sigma$的可对角化的条件，有以下常用的结论： - （1）如果$\sigma$有$n$个不同的特征值，则$\sigma$可以对角化； - （2）$\sigma$可对角化的充要条件是$\sigma$有$n$个线性无关的特征向量； - （3）$\sigma$可对角化的充要条件是：对每个$k$重特征值$\lambda$来说，它的几何重数（即特征子空间$V_{\lambda}$的维数）也等于$k$。 >习题8.6 设$T$是数域$\mathbb{F}$上$n$维空间$V$的一个线性变换.证明:在$V$中存在一个基，使得$T$的矩阵为对角形的充要条件是,$T$的特征多项式的根都属于$F$,而且对于$T$的每个特征根$\lambda_{i}$，特征子空间$V_{\lambda_{i}}$的维数等于$\lambda_{i}$的重数. `提示`:(充分性)只需证明$$V_{\lambda_{1}}+V_{\lambda_{2}}+\cdots+V_{\lambda_{n}}$$ 是直和; (必要性)考虑几何重数等于代数重数. # 第九章 若尔当标准形 学习要点45:若尔当标准形的计算 - 通过仔细化简$n$阶若尔当矩阵的特征矩阵，使学生弄清楚若尔当矩阵中的若尔当块与初等因子的对应关系，这样就能够用初等变换的方法求出所有$n$阶方阵的特征矩阵的初等因子，从而可以顺利写出其若尔当标准形。 >习题9.1 求四阶方阵 >$$A=\left( \begin{array}{cccc} 0 & 1 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 1 \\ \end{array} \right)$$ >的若尔当标准形. `提示`:对$A$的特征矩阵$\lambda I-A$作初等变换,可得$A$的初等因子为$(\lambda-1)^{2}$,$(\lambda -1)^{2}$.从而$A$的若尔当标准形为 $$J=\left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & & \\ 0 & 1 & & \\ & & 1 & 1 \\ & & 0 & 1 \\ \end{array} \right).$$ 学习要点46:运用若尔当标准形的证明题 - 运用若尔当标准形，可以证明一些关于矩阵的命题。 >习题9.2 设$C\in M_{n}(\mathbb{C})$是可逆矩阵,证明:存在矩阵$A\in M_{n}(\mathbb{C})$,使得$A^{2}=C$. `提示`:考虑矩阵$C$的若尔当标准形$J$.证明过程较为复杂,建议参考高等代数教材. # 第十章 欧氏空间 本章主要介绍欧氏空间，它是赋予了度量的线性空间。首先讲欧氏空间的定义，并突出了度量矩阵的作用。然后运用第六章中已经学过的施密特正交化方法来求出有限维欧氏空间的标准正交基。接下来讲正交补子空间和任一向量在子空间上的正交投影。这章的后面部分讲正交变换和对称变换，它们都是欧氏空间上具备良好性质的线性变换。 学习要点47：欧氏空间的概念和标准正交基 - 欧氏空间是一种赋予了度量的特殊线性空间，这个度量是通过`内积`来实现的。可以在同一个线性空间中定义不同的内积，从而得到不同的欧氏空间。学生要学会按照内积定义中的4条公理来证明某个空间是欧氏空间，并且如果要确定欧氏空间中任意两个向量的内积，只要确定基中的两个向量的内积就可以了。 有了内积后，在欧氏空间里就可以定义向量的长度和两个向量之间的夹角，于是就有了正交向量组的概念。注意欧氏空间中的长度与夹角随着定义内积的不同，可能有不同的值。 可以用施密特正交化方法来构造欧氏空间的`标准正交基`，即从一组基向量出发，逐步得到欧氏空间的标准正交基。从标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵。 >习题10.1 已知欧式空间$\mathbb{R}^{4}$中的内积是:对任何$\alpha=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})^{T}$,$\beta=(y_{1},y_{2},y_{3},y_{4})^{T}\in \mathbb{R}^{4},$ >$$<\alpha,\beta>=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\left( \begin{array}{cccc} 2 & 1 & 0 & -1 \\ 1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & 1 \\ -1 & 0 & 1 & 3 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \\ y_{4} \\ \end{array} \right),$$ >求与$\alpha_{1}=(1,1,-1,1)^{T}$,$\alpha_{2}=(1,-1,-1,1)^{T}$,$\alpha_{3}=(2,1,1,3)^{T}$都正交的单位向量. `提示`:不妨设$\gamma=(z_{1},z_{2},z_{3},z_{4})^{T}$是正交的向量,那么可由$<\gamma,\alpha_{i}>$=0可得结果.特别要注意的是还要将得到的向量单位化. >习题10.2 在由全体实数域上2次多项式组成的线性空间$\mathbb{R}[x]_{2}$里定>>义内积如下: >对任何的$f(x)$,$g(x)$$\in \mathbb{R}[x]_{2},$ >$$ < f(x),g(x)>=\int_{0}^{1}f(t)g(t)dt.$$ >对它的基$1,x,x^{2}$运用施密特正交化方法,求出$\mathbb{R}[x]_{2}$的一个标准正交基. `提示`:先进行正交化再进行单位化，可得$\mathbb{R}[x]_{2}$的一个标准正交基为 $$\eta_{1}=1,\eta_{2}=2\sqrt{3}(x-\frac{1}{2}),\eta_{3}=6\sqrt{5}(x^{2}-x+\frac{1}{6}).$$ 学习要点48:正交补子空间和正交投影 - 如果$W$是欧氏空间$V$的子空间，那么与$W$中所有向量都正交的向量的集合组成了$V$ 的一个子空间，它称为$W$的正交补。 由正交补的概念，可以来确定欧氏空间$V$中任意一个向量在$v$的一个子空间上的`正交投影`。 >习题10.3 在欧式空间$\mathbb{R}^{4}$(标准内积)中,求向量$\alpha=(2,4,1,2)^{T}$在由向量组$\gamma_{1}=(1,-1,-1,1)^{T}$,$\gamma_{2}=(1,-1,0,1)^{T}$,$\gamma_{1}=(1,-1,1,0)^{T}$生成的子空间$W$上的正交投影. `提示`:先在子空间$W=L(\gamma_{1},\gamma_{2},\gamma_{3})$找到一个标准正交基,为此需要用到施密特正交化,然后进行单位化,运用公式可得正交投影$\beta=(-1,1,1,2)^{T}$. 学习要点49:正交变换 - 正交变换是初等平面几何中旋转与轴反射运动的推广，它是用内积来定义的。如果$\sigma$是欧氏空间$V$上的线性变换，并且对任何$\alpha,\beta \in V$，有 $$<\sigma(\alpha),\sigma(\beta)>=<\alpha,\beta>.$$ 就称$\sigma$是线性空间$V$上的`正交变换`。 正交变换有以下等价的判别充要条件： - （1）$\sigma$保持向量的长度不变； - （2）$\sigma$把$V$的任一标准正交基都变成标准正交基； - （3）$\sigma$在$V$的任一标准正交基下的矩阵都是正交矩阵。 >习题10.4 设$T$为$n$维欧式空间$V$的一个线性变换.若$T$对一组基$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}$中的向量,有 >$$(T\alpha_{i},T\alpha_{i})=(\alpha_{i},\alpha_{i}),i=1,2,\cdots,n.$$ >问:$T$是否一定是正交变换? `提示`:不一定.可举反例:对二维欧式空间$\mathbb{R}^{2}$,$\epsilon_{1}=(1,0),\epsilon_{2}=(0,1)$是其一组标准正交基.考虑$T$是$\mathbb{R}^{2}$的一个线性变换,且满足 $$T\epsilon_{1}=\frac{1}{2}\epsilon_{1}+\frac{\sqrt{3}}{2}\epsilon_{2},T\epsilon_{2}=\epsilon_{2}.$$ 学习要点50:对称变换 - 如果$\sigma$是欧氏空间$V$上的线性变换，并且$\sigma$在$V$的某个标准正交基下的矩阵是对称矩阵，就称$\sigma$是欧氏空间$V$ 上的`对称变换`。 $\sigma$是欧氏空间$V$上的对称变换的等价表述是： - （1）对任何$\alpha,\beta \in V$，有 $$<\sigma(\alpha),\beta>=<\alpha,\sigma(\beta)>.$$ - （2）$\sigma$在$V$的任意一个标准正交基下的矩阵都是对称矩阵。 如果$\sigma$是欧氏空间$V$上的对称变换，则存在$V$的一个标准正交基，使得$\sigma$在这个基下的矩阵是对角矩阵。 >习题10.5 设$T$为$n$维欧式空间$V$的一个线性变换.证明:$T$为对称变换的充要条件是$T$有$n$个两两正交的特征向量. `提示`:(必要性)借助实对称矩阵的主轴定理作为工具展开证明;(充分性)设$T$有$n$个两两正交的特征向量$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}$,且满足 $$T\alpha_{i}=\lambda_{i}\alpha_{i}.$$ 此时选取$\frac{\alpha_{1}}{|\alpha_{1}|},\frac{\alpha_{2}}{|\alpha_{2}|},\cdots,\frac{\alpha_{n}}{|\alpha_{n}|}$作为$V$的一组标准正交基即可.