本文原载于"小朱的读书笔记"，作者:`陈跃`，上海师范大学数学系副教授. ------------ 笔者曾经看到过一些介绍数学各分支学科的书籍和文章，但是它们大多只是按照19世纪的观点（或者20世纪上半叶的观点）来看待现代数学，基本上只是介绍了一小部分的分支学科，没有能比较完整地给出现代数学的概貌。 实际上，20世纪是数学飞速发展的世纪。特别是在20世纪的后50年里，数学知识出现了前所未有的爆炸性增长，大量的重大问题得到了解决或取得了突破性的进展。如今的数学真正成为了人类所有的知识领域中最深奥难懂和最博大精深的一门学问，其抽象与艰深的程度登峰造极。按照美国数学会在2010年编的《数学分类目录》(Mathematics Subject Classification)，目前大大小小的数学研究方向(即小分支)加在一起已经超过了7000个。尽管人们所见到的几部数学百科全书类图书已经有了巨大的篇幅，然而以今天的21世纪眼光看，它们基本上也只是反映了20世纪70年代以前的数学发展状况，学科知识的观点和体系框架还显得比较陈旧，缺少对大量新涌现的数学分支的介绍，从而不能满足人们在当下全面了解和学习现代数学的迫切需求。 日本数学会在2007年重新编撰出版的《岩波数学辞典》(第4版)是一部真正反映了20世纪数学发展的紧凑型的数学百科全书，它对人们经常说的联系比较广泛的“核心数学”，作出了一个比较全面的介绍。这部篇幅接近2000页的辞典努力按照布尔巴基的精神，试图全面地总结20世纪数学发展的主要成就，即“自觉运用所谓抽象化方法，在不同分支中如果相同理论成立，那么就可由相同的公理对它们加以演绎，从集合、对应等一般概念出发，可以把全部数学在拓扑和代数的基础上重新进行组织，”从而将“全部数学尽可能透彻地纳入一个体系”（见《岩波数学辞典》的前言）。  布尔巴基的高观点决定了这部数学百科辞典从一开始就必定采用不同于其他同类数学百科辞典书籍的写法。《岩波数学辞典》最突出的优点是首创了中等词条的做法，这为该书的巨大成功奠定了坚实的基础。所谓“中等词条”，是相对于大的领域词条和小词条来说的。例如在写大的领域“数论”时，《岩波数学辞典》只写该领域所包含的“初等数论”、“连分数”、“数论函数”、“堆垒数论”、“素数分布”、“数的几何与数论中的逼近”、“超越数”、“丢番图方程”、“二次域的数论”、“代数数域的数论”、“局部域”、“类域论”、“岩泽理论”、“代数K理论”、“算术几何”、“费马大定理”、“代数数域上的代数群”、“自守形式”、“志村（Shimura）簇”、“zeta函数”和“准齐性向量空间”等二十来个中等词条。这里每一个中等词条基本上都代表了数论领域中的一个分支学科，各个中等词条实际上都是一篇有相当长度的简明扼要的综述性文章（例如对分支学科“志村簇”的介绍达到了6页，而对分支学科“自守形式”的介绍则达到了15页），其中又各自包含了属于该分支的至少十几条或者几十条小词条。这样，就不用再另外单独地写小词条了。中等词条的作用是将大量分散的小词条整合成一个整体，从而可以让人们看到它们之间内在的有机联系。曾经担任《岩波数学辞典》第1版主编的日本著名数学家弥永昌吉这样解释为什么要使用中等词条：“为了很快查到各术语的定义，小词条是比较方便的，但是数学已成为系统的学科，把相互关系密切的概念纳入一个（中等）词条下进行说明，可以在和整体的联系中正确掌握各个概念，同时能省去冗长的说明，也是有利的。”  例如对属于数论领域的“算术几何”这一分支学科，《岩波数学辞典》(第4版) 又将这个分支进一步分成了“$l$进上同调”、“同余zeta函数和Weil猜想”、“Hasse-Weil $L$ 函数”、“BSD猜想”、“Hasse-Weil $L$ 函数的特殊值”、“母题（motive）”、“混合母题与母题上同调”、“局部域上的代数簇”、“$p$进上同调”、“代数的基本群”和“Arakelov几何”这11个小分支来分别加以论述。对每个小分支，《岩波数学辞典》(第4版)都详尽地给出了相关理论的思想和历史背景、最基本概念的含义及其性质、最主要的定理结论和研究进展状况、以及最新的参考文献等。 国内曾经出版过根据日本《岩波数学辞典》的第2版（1968年）翻译而成的《数学百科辞典》。在“文革”刚结束的1977年，科学出版社开始组织《岩波数学辞典》(第2版)的中文翻译工作，“经过长达六年多的艰苦奋斗”，中文版于1984年正式出版，书名改为《数学百科辞典》。虽然这本在当时“被认为是一部内容极其丰富、现代数学的百科全书”（见中译本序），为改革开放后的中国数学工作者恢复元气、努力赶上世界数学的先进潮流，起到了一定程度上的促进作用，但是放在已经是21世纪的今天来看，就未免有些落伍了。  下面我们按照不同数学领域的划分，详细列出了《岩波数学辞典》(第4版)中总共介绍的三百多个现代数学主要分支学科的名称，同时也与30多年前的中文版《数学百科辞典》作了仔细的比较，从中可以看到两者的区别到底有多大。为了节省本文的篇幅，我们没有列出数学基础、数理逻辑与数学史等领域的分支学科。在这里要特别注意： 以下用红色表示的是在中文版《数学百科辞典》中没有的新增加的分支学科，用蓝色表示的分支学科是：虽然它们在中文版《数学百科辞典》中也有，但是其中每个分支学科一半以上的内容都在《岩波数学辞典》的第4版中进行了比较彻底的重写（或者主要的观点都已经完全改变了），而用黑色表示的分支学科则是与中文版《数学百科辞典》中写的基本相同的分支学科。 ## 一、代数学领域 1．集合论 2．矩阵与行列式 3．多项式与代数方程 4．域与Galois理论 5．线性空间 6．张量积与外积 7．环论 8．代数 9．模论 10．代数表示论 11．同调代数 12．Hopf代数 13．交换环与Noether环 14．范畴与函子 15．不变量理论 16．幂级数环 17．唯一分解整环 18． 交换环的同调理论 19．优秀（excellent）环 20．Hensel环与逼近定理 21．理想的胎紧闭包（tight closure） 22．二次型 23．Clifford代数 24．微分环 25．Witt向量 26．赋值论 27．阿代尔与伊代尔 28．Cayley代数 29．Jordan代数 30． 格论 31．Boole代数 32．群论 33．有限群 34．有限单群 35．结晶体群 36．典型群 37．拓扑群 38．紧群 39．李群 40． 李代数 41．代数群 42．对称空间 43．齐性空间上的群作用 44．不连续群 45．表示论 46．模表示 47．酉表示 48．无限维表示 49．群作用与不变量 50．D-模 51．量子群 52．无限维Lie代数 ## 二、数论领域 53．初等数论 54．连分数 55．数论函数 56．堆垒数论 57．素数的分布 58．数的几何与数论中的逼近 59．超越数 60．丢番图方程 61．二次域的数论 62．代数数域的数论 63．局部域 64．类域论 65．岩泽理论 66．代数K理论 67．算术几何 68．费马大定理 69．数域上的代数群 70．自守形式 71．志村簇 72.zeta函数 73．准齐性向量空间 ## 三、代数几何学领域 74．代数曲线 75．代数曲面与复解析曲面 76．代数簇 77．凝聚层及其上同调理论 78．有理映射与奇点 79．除子理论 80．闭链与周环 81．代数空间与形式概形 82．极化簇 83．代数簇的拓扑与比较定理 84．代数向量丛 85．Hodge理论 86．阿贝尔簇 87．有理簇与Fano簇 88．双有理几何 89．环面簇 90．相交理论 91．奇点理论 92．模空间理论 ## 四、几何学领域 93．欧氏几何 94．非欧几何 95．射影几何 96．解析几何 97．仿射几何 98．共形几何 99．组合几何 ## 五、微分几何学领域 100．流形论 101．黎曼流形 102．联络论 103．张量与旋量 104．整体黎曼几何 105．齐性空间的微分几何 106．G-结构与等价问题 107．复流形 108．调和积分 109．曲线与曲面的微分几何 110．子流形的微分几何 111．极小子流形 112．几何测度论 113．调和映射 114．Morse理论 115．仿射微分几何 116．Finsler空间 117．积分几何 118．谱几何 119．刚性与几何群论 120．辛几何与切触几何 121．模空间与偏微分方程 122．一些新的几何理论（如Twistor空间、超Kähler几何、ADHM构造、Calabi-Yau流形等） ## 六、拓扑学领域 123．拓扑空间 124．度量空间 125．维数理论 126．一致空间 127．基本群 128．覆盖空间 129．映射度 130．复形 131．同调论 132．不动点定理 133．同伦论 134．纤维丛 135．障碍理论 136．示性类 137．拓扑K理论 138．纽结理论 139．变换群 140．层论 141．可微映射的奇点 142．叶状结构 143．动力系统 144．低维动力系统 145．双曲动力系统 146．保守动力系统 147．动力系统中的分歧 148．流形的拓扑 149．指标定理 150．3维流形 151．4维流形 152．几何拓扑 ## 七、分析学领域 153．极限论 154．凸分析 155．有界变差函数 156．微分学 157．算子演算 158．测度论 159．积分理论 160．不变测度 161．长度和面积 162．分形 163．级数与渐近级数 164．多项式逼近 165．正交函数系 166．Fourier级数 167．Fourier变换 168．小波 169．调和分析与实分析 170．殆周期函数 171．Laplace变换 172．积分变换 173．位势论 174．调和函数与上(下)调和函数 175．Dirichlet问题 176．变分法 177．Plateau问题 ## 八、复分析领域 178．全纯函数 179．幂级数 180．全纯函数族 181．全纯函数最大值原理 182．解析函数边界性质 183．单叶函数 184．值分布理论 185．复逼近论 186．黎曼面 187．黎曼面上的分析 188．复动力系统 189．共形映射 190．拟共形映射 191．Teichmüller空间 192．Klein群 193．多变量解析函数 194．解析空间 195. $\bar{\partial}$方程 196．全纯映射 197．多重下调和函数 198．CR-流形 199．核函数 200．Siegel区域 201．周期积分 ## 九、泛函分析领域 202．Hilbert空间 203．Banach空间 204．有序线性空间 205．拓扑线性空间 206．函数空间 207．广义函数与超函数 208．向量值积分 209．线性算子 210．紧算子与核型算子 211．插值空间 212．算子的谱分析 213．算子不等式 214．线性算子的摄动 215．算子半群和发展方程 216．Banach代数 217．C﹡-代数 218．函数代数 219．von Neumann代数 220．非线性泛函分析 ## 十、微分方程领域 221．常微分方程的初值问题和边值问题 222．线性常微分方程 223．线性常微分方程的局部理论 224．线性常微分方程的整体理论 225．非线性常微分方程的局部理论 226．非线性常微分方程的整体理论 227．Painlevé方程 228．非线性振动 229．非线性问题 230．常微分方程解的稳定性 231．积分不变量 232．差分方程 233．泛函微分方程 234．全微分方程 235．偏微分方程及其解法 236．亚椭圆性与可解性 237．偏微分方程的初值问题 238．复数域中的偏微分方程 239．一阶偏微分方程 240．Monge-Ampère方程 241．椭圆型偏微分方程 242．双曲型偏微分方程 243．抛物型偏微分方程 244．混合型偏微分方程 245．偏微分方程理论中的不等式 246． Green函数与Green算子 247．积分方程 248．积分微分方程 249．特殊微分方程 250．微局部分析与拟微分算子 251．特殊函数 252．椭圆函数 ## 十一、计算数学领域 253．线性方程组的数值解法 254．非线性方程组的数值解法 255．特征值的数值计算法 256．数值积分法 257．常微分方程的数值解法 258．偏微分方程的数值解法 259．有限差分法 260．有限元方法 261．函数值计算法 262．自我校正(self-validating)方法 ## 十二、应用分析领域 263．数学模型 264．反应扩散方程 265．自由边界问题 266．变分分析 267．流体力学方程 268．守恒定律 269．非线性波动方程与非线性色散方程 270．散射理论 271．反问题 272．黏性解 ## 十三、概率论领域 273．概率论 274．概率测度 275．随机过程 276．极限定理 277．Markov过程 278．Markov链与Brown运动 279．Lévy过程 280．鞅论 281．扩散过程 282．随机微分方程 283．Malliavin随机分析 284．测度值过程 285．Gauss过程 286．平稳过程 287．遍历理论 288．随机控制与随机滤波 289．统计物理中的概率方法 ## 十四、统计数学领域 290．统计模型与统计推断 291．统计量与样本分布 292．统计估计 293．假设检验 294．多元分析 295．鲁棒与非参数方法 296．试验设计 297．抽样方法 298．保险数学 299．时间序列分析 300． 随机过程的统计推断 301．统计计算 302．信息几何 ## 十五、离散数学与组合论领域 303．图论 304．计数组合学 305．拟阵 306．设计理论 307．离散几何 308．极值集合论 309． 代数组合学 ## 十六、信息科学中的数学领域 310．形式语言与自动机 311．计算复杂性理论 312．信息论 313．编码理论 314．密码学 315．计算机代数 316．计算几何 317．随机数与MonteCarlo方法 ## 十七、最优化理论领域 318．线性规划 319．非线性规划 320．半定规划与整体最优化 321．网络流 322．离散凸分析 323．整数规划 324．组合最优化 325．动态规划 326．随机规划 327．对策论 328．互补性问题 329．控制论 330．运筹学 331．证券投资(portfolio)理论 332．Markov决策过程 ## 十八、数学物理领域 333．单位制与量纲分析 334．变分原理 335．力学 336．天体力学 337．宇宙物理学 338．三体问题 339．流体力学 340．等离子物理学 341．湍流 342．复杂系统 343．相变 344．振动与波动 345．几何光学 346．电磁学 347．网络与回路 348．热力学 349．统计力学 350． 相对论 351．统一场论 352．量子力学 353．Lorentz群 354．Racah代数 355．二次量子化 356．场论 357．S矩阵 358．Feynman积分 359．基本粒子论 360．重正化群 361．可解模型 362．孤立子 363．共形场论 364．物理学中的逼近方法 从以上现代数学各分支学科的名称列表中可以看到，《岩波数学辞典》(第4版)与中文版《数学百科辞典》有着很大的区别，前者几乎就是一部全新的著作。特别是在数论、群论与表示论、代数几何、微分几何学、拓扑学、复分析、泛函分析等基础数学领域，以及应用数学和计算数学的领域中，涌现了大量的新分支学科。其中尤其以数论、代数几何、微分几何、拓扑学和应用数学等领域表现得最为明显，它们在《岩波数学辞典》(第4版)中所新增加的篇幅是中文版《数学百科辞典》原来篇幅的两倍以上，显示了这些分支学科在20世纪最后30年里所取得的巨大进步。 我们可以说，《岩波数学辞典》(第4版)是一部真正意义上的20世纪现代数学百科全书，由于《岩波数学辞典》(第4版)对每个分支学科都给出了基本的学科知识纲要和十分完备的参考书目，所以它显然也是一部20世纪现代数学的入门书。就像上个世纪80年代初期的人们热切盼望中文版《数学百科辞典》的出版一样，现在笔者也希望《岩波数学辞典》(第4版)能够再一次被译成中文。